Gewagte Ferndiagnose:

Das Netzteil ist im Eimer, Spannungswechsel haben offenbar der Platte einen verpasst. Daher das sporadische Einschalten und die Fehler auf der FP.

Dies würde auch die Abstürze bzw. geordnetes Herunterfahren erklären, da die FP mit Sicherheit per SMART massive Fehler ans BS meldet, das daraufhin versucht geordnet herunter zu fahren, was natürlich bei defekten Sektoren nicht immer funktioniert.

Ich würde mal testweise Netzteil und Platte tauschen, mit der LiveCD starten und gucken, ob die Kiste dann immer noch Faxen macht...